Geboren 1937 in Kassel legte Melchior 1957 das Abitur ab. Die Ärztliche Prüfung und die Promotion folgten 1966. 1972 schloss er die Weiterbildung zum Facharzt für Urologie in den Klinischen Anstalten der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule (RWTH) Aachen ab. Im gleichen Jahr habilitierte Melchior und wurde dort leitender Oberarzt der Abteilung Urologie. 1975 erhielt er den Ruf zum außerplanmäßigen Professor der RWTH Aachen. Direktor der Klinik für Urologie des Klinikum Kassels (ehemals Städtischen Kliniken Kassel) war er von 1977 bis 2003.
Hansjörg Melchior hat sich in besonderer Weise für das Fach Urologie eingesetzt und sich berufspolitisch engagiert. Bereits 1977 gründete er den Arbeitskreis "Urologische Funktionsdiagnostik und Urologie der Frau" der Deutschen Urologen, dessen Vorsitzender er bis 1991 war und seitdem Ehrenvorsitzender ist. Neben vielen weiteren Ämtern war er von 1980 bis 2012 Leiter der Sektion Urologie der Akademie für ärztliche Fort- und Weiterbildung der Landesärztekammer Hessen, von 1991 bis 1999 Mitglied des Vorstandes der Deutschen Gesellschaft für Urologie, dessen Präsident er von 1992 bis 1993 war, sowie von 2008 bis 2013 Mitglied der Delegiertenversammlung der Landesärztekammer Hessen. Melchior ist Gründer und Wissenschaftlicher Leiter der Kasseler Gesundheitstage sowie des Maximilian Nitze-Kreises der Deutschen Gesellschaft für Urologie. Er hat mehr als 250 wissenschaftliche Arbeiten in nationalen und internationalen Zeitschriften publiziert sowie zahlreiche Bücher und Buchbeiträge.
Für seinen Einsatz erhielt Hansjörg Melchior zahlreiche Ehrungen, unter anderem den Maximilian Nitze-Preis sowie die Maximilian-Nitze-Medaille der Deutschen Gesellschaft für Urologie, den Ehrenpreis der Deutschen Kontinenzgesellschaft und das Bundesverdienstkreuz 1. Klasse.